Finite Mathematik Beispiele

${(5 u + 2 v)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 u)}^{4 - k} \cdot {(2 v)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 u)}^{4 - 0} \cdot {(2 v)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 u)}^{4 - 1} \cdot {(2 v)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 u)}^{4 - 2} \cdot {(2 v)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 u)}^{4 - 3} \cdot {(2 v)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 u)}^{4 - 4} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(5 u)}^{4}$ mit $1$ .

${(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $5 u$ an.

$5^{4} u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.3

Potenziere $5$ mit $4$ .

$625 u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$625 u^{4} \cdot (2^{0} v^{0}) + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$625 \cdot 2^{0} u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$625 \cdot 1 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $625$ mit $1$ .

$625 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$625 u^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $625$ mit $1$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $5 u$ an.

$625 u^{4} + 4 \cdot (5^{3} u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.11

Potenziere $5$ mit $3$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot (125 u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $125$ mit $4$ .

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot (2 v) + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$625 u^{4} + 500 \cdot 2 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $500$ mit $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $5 u$ an.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (5^{2} u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.17

Potenziere $5$ mit $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (25 u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot (2^{2} v^{2}) + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 2^{2} u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.21

Potenziere $2$ mit $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 4 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $150$ mit $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.23

Vereinfache.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot (5 u) \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.24

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.25

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot (2^{3} v^{3}) + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.26

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 2^{3} u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.27

Potenziere $2$ mit $3$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 8 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.28

Mutltipliziere $20$ mit $8$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.29

Mutltipliziere ${(5 u)}^{0}$ mit $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.30

Wende die Produktregel auf $5 u$ an.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 5^{0} u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.31

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.32

Mutltipliziere $u^{0}$ mit $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.33

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.34

Mutltipliziere ${(2 v)}^{4}$ mit $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(2 v)}^{4}$

Schritt 4.35

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 2^{4} v^{4}$

Schritt 4.36

Potenziere $2$ mit $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 16 v^{4}$